\subsection{角的概念的推广}\label{subsec:2-1}

% \begin{figure}[htbp]
%     \centering
%     \input{pic/2-1}
%     \caption{}\label{fig:2-1}
% \end{figure}

\begin{wrapfigure}[8]{r}{4.5cm}
    \centering
    \input{pic/2-1}
    \vspace{-20pt}
    \caption{}\label{fig:2-1}
\end{wrapfigure}

我们知道，角可以看成是由一条射线绕着它的端点旋转而成的。如图 \ref{fig:2-1}，一条射线由原来的位置$OA$
绕着它的端点 $O$ 按逆时针方向旋转到另一位置 $OB$，就形成角 $\alpha$。旋转开始时的射线 $OA$ 叫做角
$\alpha$ 的\textbf{始边}，旋转终止时的射线 $OB$ 叫做角 $\alpha$ 的\textbf{终边}，射线的端点 $O$
叫做角 $\alpha$ 的顶点。

过去我们所研究的角都是 $0^\circ$ 到 $360^\circ$ 的角。但是，在日常生活中，在生产和科学实验中，还要
经常遇到大于 $360^\circ$ 的角。如图 \ref{fig:2-2}（1）所示，在自行车的车轮按逆时针方向旋转一周的过
程中，$OA$ 形成了 $0^\circ$ 到 $360^\circ$ 的所有的角；在车轮继续旋转第二周的过程中，又形成了
$360^\circ$ 到 $720^\circ$的所有的角；这样下去，可以形成更大的角（如图 \ref{fig:2-2}（2））。

\begin{figure}[htbp]
    \centering
    \begin{minipage}{8cm}
    \centering
    \input{pic/2-2-1}
    \caption*{（1）}
    \end{minipage}
    \qquad
    \begin{minipage}{8cm}
    \centering
    \input{pic/2-2-2}
    \caption*{（2）}
    \end{minipage}
    \caption{}\label{fig:2-2}
\end{figure}

在实际生活中，我们还看到角的形成可以按照两种相反的旋转方向：逆时针方向和顺时针方向。为了区别起见，我们
把按逆时针方向旋转所形成的角叫做\textbf{正角}，
把按顺时针方向旋转所形成的角叫做\textbf{负角}。如在图 \ref{fig:2-3} 中，以 $OA$ 为始边的角
$\alpha = 210^\circ$，$\beta = -150^\circ$，$\gamma = -660^\circ$。
特别地，当一条射线没有作任何旋转时，我们也认为这时形成了一个角，并把这个角叫 \textbf{零角}。

\begin{figure}[htbp]
    \centering
    \input{pic/2-3}
    \caption{}\label{fig:2-3}
\end{figure}

角的概念经这样推广以后，它包括任意大小的正角、负角和零角。

今后我们常在直角坐标系内讨论角，使角的顶点与坐标原点重合，角的始边在 $x$ 轴的正半轴上。
角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限的角（或说这个角属于第几象限）。如
图 \ref{fig:2-4}（1）中的 $30^\circ$，$390^\circ$，$-330^\circ$ 的角都是第一象限的角；
图 \ref{fig:2-4}（2）中的 $300^\circ$，$-60^\circ$ 的角都是第四象限的角；
$585^\circ$ 的角是第三象限的角。如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何象限。

\begin{figure}[htbp]
    \centering
    \begin{minipage}{8cm}
    \centering
    \input{pic/2-4-1}
    \caption*{（1）}
    \end{minipage}
    \qquad
    \begin{minipage}{8cm}
    \centering
    \input{pic/2-4-2}
    \caption*{（2）}
    \end{minipage}
    \caption{}\label{fig:2-4}
\end{figure}

从图 \ref{fig:2-4}（1）中看到，$390^\circ$，$-330^\circ$ 的角都与 $30^\circ$ 的角的
终边相同。$390^\circ$，$-330^\circ$ 可以分别写成下列形式：
$$360^\circ + 30^\circ; \qquad -360^\circ + 30^\circ \text{。}$$

显然，除了这两个角以外，与 $30^\circ$ 的角终边相同的角还有：

\begin{center}
    \begin{tabular}[t]{*{2}{@{}c}}
        $2 \times 360^\circ + 30^\circ$ ; & \qquad $-2 \times 360^\circ + 30^\circ$ ; \\
        $3 \times 360^\circ + 30^\circ$ ; & \qquad $-3 \times 360^\circ + 30^\circ$ ; \\
        $\cdots$ ; & $\cdots$ 。
    \end{tabular}
\end{center}

所有与 $30^\circ$ 的角终边相同的角，连同 $30^\circ$ 的角在内（而且只有这样的角），可以用下式来表示：
$$k \cdot 360^\circ + 30^\circ , \, k \in Z \text{。}$$

当 $k = 0$ 时，它表示 $30^\circ$ 的角；
当 $k = 1$ 时，它表示 $390^\circ$ 的角；
当 $k = -1$ 时，它表示 $-330^\circ$ 的角，等等。

一般地，\textbf{所有与 $\alpha$ 角終边同的角，连同 $\alpha$ 角在内（而且只有这样的角），可以用式子
$k \cdot 360^\circ + \alpha , \, k \in Z$ 来表示。}

由此可见，对于给定的顶点、始边和终边，确定了一个由无限个角组成的集合。
与 $\alpha$ 角终边相同的角的集合可记作：
$$\{ \beta | \beta = k \cdot 360^\circ + \alpha, \, k \in Z \} \text{。}$$

\liti 在 $0^\circ$ \~{} $360^\circ$ 间
\footnote{本书规定，在  $0^\circ$ \~{} $360^\circ$ 间的 $\alpha$ 角，是指 $0^\circ \leqslant \alpha < 360^\circ$。}，
找出与下列各角终边相同的角，并判定下列各角是哪个象限的角。
\begin{xiaoxiaotis}

    \threeInLine{\xiaoxiaoti{$-120^\circ$；}}
        {\xiaoxiaoti{$640^\circ$；}}
        {\xiaoxiaoti{$-950^\circ 12'$。}}

\end{xiaoxiaotis}

\jie （1） $\because \quad -120^\circ = -360^\circ + 240^\circ$，

$\therefore$ $-120^\circ$ 的角与 $240^\circ$ 的角的终边相同，它是第三象限的角；

（2） $\because \quad 640^\circ = 360^\circ + 280^\circ$，

$\therefore$ $640^\circ$ 的角与 $280^\circ$ 的角的终边相同，它是第四象限的角；

（3） $\because \quad -950^\circ 12‘ = -3 \times 360^\circ + 129^\circ 48'$，

$\therefore$ $-950^\circ 12‘$ 的角与 $129^\circ 48'$ 的角的终边相同，它是第二象限的角。

\liti 写出下列各角终边相同的角的集合 $S$，并把 $S$ 中在 $-360^\circ$ \~{} $720^\circ$ 间的角写出来：
\begin{xiaoxiaotis} \setcounter{cntxiaoxiaoti}{0}

    \threeInLine{\xiaoxiaoti{$60^\circ$；}}
        {\xiaoxiaoti{$-21^\circ$；}}
        {\xiaoxiaoti{$363^\circ 14'$。}}

\end{xiaoxiaotis}

\jie （1） $S = \{ \beta | \beta = k \cdot 360^\circ + 60^\circ , \, k \in Z \}$。

$S$ 在 $-360^\circ$ \~{} $720^\circ$ 间的角是
\begin{gather*}
    -1 \times 360^\circ + 60^\circ = -300^\circ \text{；} \\
    0 \times 360^\circ + 60^\circ = 60^\circ \text{；} \\
    1 \times 360^\circ + 60^\circ = 420^\circ \text{。}
\end{gather*}

（2） $S = \{ \beta | \beta = k \cdot 360^\circ - 21^\circ , \, k \in Z \}$。

$S$ 在 $-360^\circ$ \~{} $720^\circ$ 间的角是
\begin{gather*}
    0 \times 360^\circ - 21^\circ = -21^\circ \text{；} \\
    1 \times 360^\circ - 21^\circ = 339^\circ \text{；} \\
    2 \times 360^\circ - 21^\circ = 699^\circ \text{。}
\end{gather*}

（3） $S = \{ \beta | \beta = k \cdot 360^\circ + 363^\circ 14', \, k \in Z \}$。

$S$ 在 $-360^\circ$ \~{} $720^\circ$ 间的角是
\begin{gather*}
    -2 \times 360^\circ + 363^\circ 14' = -356^\circ 46' \text{；} \\
    -1 \times 360^\circ + 363^\circ 14' = 3^\circ 14' \text{；} \\
    0 \times 360^\circ + 363^\circ 14' = 363^\circ 14' \text{。}
\end{gather*}

\liti 写出终边在 $y$ 轴上的角的集合。

\begin{figure}[htbp]
    \centering
    \input{pic/2-5}
    \caption{}\label{fig:2-5}
\end{figure}

\jie 在 $0^\circ$ \~{} $360^\circ$ 间，终边在 $y$ 轴的正半轴上的角为 $90^\circ$，
终边在 $y$ 轴的负半轴上的角为 $270^\circ$（图 \ref{fig:2-5}），因此，终边在 $y$ 轴
的正半轴、负半轴上的所有的角分别是
$$k \cdot 360^\circ + 90^\circ , \qquad k \cdot 360^\circ + 270^\circ , \, k \in Z \text{，}$$
即终边在 $y$ 轴上的所有的角是
$$k \cdot 360^\circ + 90^\circ \text{或} k \cdot 360^\circ + 270^\circ , \, k \in Z \text{。}$$

又 

\begin{align}
    k \cdot 360^\circ + 90^\circ &= 2k \cdot 180^\circ + 90^\circ; \tag{1}\label{eq:2-1} \\
    k \cdot 360^\circ + 270^\circ &= 2k \cdot 180^\circ + 180^\circ + 90^\circ \notag \\
        & = (2k + 1) \cdot 180^\circ + 90^\circ \text{。} \tag{2}\label{eq:2-2}
\end{align}

在 \eqref{eq:2-1} 式等号右边的前一项是 $180^\circ$ 的所有偶数（$2k$）倍；
在 \eqref{eq:2-2} 式等号右边的前一项是 $180^\circ$ 的所有奇数（$2k + 1$）倍，
因此，它们可以合并为 $180^\circ$ 的所有整数（用 $n$ 来表示）倍。
这样 \eqref{eq:2-1} 式和 \eqref{eq:2-2} 式可以合并写成：
$$n \cdot 180^\circ + 90^\circ , \, n \in Z \text{，}$$
因而终边在 $y$ 轴上的角的集合是
$$S = \{ \beta | \beta = n \cdot 180^\circ + 90^\circ , \, n \in Z \} \text{。}$$

\lianxi
\begin{xiaotis}

\xiaoti{（口答）锐角是第几象限的角？第一象限的角是否都是说角？再就饨角、直角来回答这两个问题。}

\xiaoti{己知角的顶点与直角坐标系的原点重合，始边落在 $x$ 轴的正半轴上，作出下列各角，并指出它们是哪个象限的角：}
\begin{xiaoxiaotis}

    \fourInLine{\xiaoxiaoti{$420^\circ$；}}
        {\xiaoxiaoti{$-75^\circ$；}}
        {\xiaoxiaoti{$855^\circ$；}}
        {\xiaoxiaoti{$-510^\circ$。}}

\end{xiaoxiaotis}

\xiaoti{在 $0^\circ$ \~{} $360^\circ$ 间，找出与下列各角终边相同的角，并指出它们是哪个象限的角：}
\begin{xiaoxiaotis}

    \fourInLine{\xiaoxiaoti{$-54^\circ 18'$；}}
        {\xiaoxiaoti{$395^\circ 8'$；}}
        {\xiaoxiaoti{$-1190^\circ 30'$；}}
        {\xiaoxiaoti{$1563^\circ$。}}

\end{xiaoxiaotis}

\xiaoti{写出与下列各角终边相同的角的集合，并且把集合中在 $-720^\circ$ \~{} $360^\circ$ 间的角写出来：}
\begin{xiaoxiaotis}

    \fourInLine{\xiaoxiaoti{$45^\circ$；}}
        {\xiaoxiaoti{$-30^\circ$；}}
        {\xiaoxiaoti{$1303^\circ 18'$；}}
        {\xiaoxiaoti{$-225^\circ$。}}

\end{xiaoxiaotis}

\end{xiaotis}
